Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole’a, mówiące, że

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Co więcej, ciałem tym jest rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Twierdzenie udowodnione w 1936 roku przez amerykańskiego matematyka Marshalla Harveya Stone’a. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole’a a teorią zwartych, zerowymiarowych przestrzeni topologicznych.

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.

Niech $(\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )$ będzie algebrą Boole’a.

Definicje

• Powiemy, że zbiór $F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{\mathbf {0} \}$ jest filtrem na algebrze $\mathbb {B} ,$ gdy następujące warunki są spełnione:

(a) $\mathbf {1} \in F,$

(b) jeśli $a\in F$ oraz $a\leqslant b\in \mathbb {B}$ (czyli $a\cdot (\sim b)={\mathbf {0} }$), to też $b\in F,$

(c) jeśli $a,b\in F,$ to również $a\cdot b\in F.$

• Filtr $F$ na algebrze $\mathbb {B}$ jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym $F$ jest filtr $F.$ (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze $\mathbb {B}$ są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze $\mathbb {B}$ jest oznaczany przez $\mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).$
• Dla $a\in \mathbb {B}$ definiuje się $e(a)=\{p\in \mathrm {Ult} (\mathbb {B} )\colon a\in p\}\subseteq \mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).$

Obserwacje

• Niech $F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{{\mathbf {0} }\}$ będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) $F$ jest ultrafiltrem,

(ii) dla każdego elementu $a\in \mathbb {B} ,$ albo $a\in F$ lub $\sim a\in F,$

(iii) dla każdych $a,b\in \mathbb {B} ,$ jeśli $a+b\in F,$ to $a\in F$ lub $b\in F.$

• Każdy filtr $F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{{\mathbf {0} }\}$ jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
• Dla dowolnych $a,b\in \mathbb {B}$ mamy, że

$e(a+b)=e(a)\cup e(b),$ $e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)$ oraz $e(\sim a)=\mathrm {Ult} (\mathbb {B} )\setminus e(a).$

• Rodzina $\{e(a):a\in \mathbb {B} \}$ jest bazą pewnej topologii $\tau _{\mathrm {St} }$ na $\mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).$ Przestrzeń topologiczna $(\mathrm {Ult} (\mathbb {B} ),\tau _{\mathrm {St} })$ jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T₂ (tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry $\mathbb {B}$).
• Odwzorowanie $e$ jest izomorfizmem pomiędzy algebrą $\mathbb {B}$ a ciałem ${\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} )$ otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.

Dualność

Twierdzenie Stone’a może być sformułowane w nieco ogólniejszej formie, która to oddaje dualizm między algebrami Boole’a a zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

Twierdzenie Stone’a o dualności

Dla każdej algebry Boole’a $\mathbb {B}$ istnieje izomorfizm

$s_{\mathbb {B} }\colon \mathbb {B} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} ),$

przy czym

• dla każdej algebry Boole’a $\mathbb {A}$
• dla każdego homomorfizmu $h\colon \mathbb {B} \to \mathbb {A}$

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

$h^{*}\colon {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {A} )\to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} ),$

że

$h=s_{\mathbb {A} }^{-1}\circ h^{*}\circ s_{\mathbb {B} }.$

Ponadto

• jeżeli $h^{*}$ jest różnowartościowa, to $h$ jest epimorfizmem,
• jeżeli $h^{*}$ jest „na”, to $h$ jest monomorfizmem,
• jeżeli $\mathbb {C}$ jest algebrą Boole’a oraz $g\colon \mathbb {C} \to \mathbb {B}$ jest homomorfizmem, to

$(h\circ g)^{*}=g^{*}\circ h^{*}.$

Zobacz też

• twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga
• twierdzenie Sikorskiego

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 219, 347. ISBN 978-83-01-15232-1.